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向量点积

来源：未知时间：2023-09-25 11:26 作者：小飞侠阅读:次

[导读] 向量点积，也称为向量的数量积或向量的内积，是两个向量对应元素的乘积的和。对于两个向量 � ⟶ a ⟶ 和 � ⟶ b ⟶ ，其点积定义如下： � ⟶ ⋅ � ⟶ = � 1 � 2 + � 1 � 2 a ⟶...

向量点积，也称为向量的数量积或向量的内积，是两个向量对应元素的乘积的和。对于两个向量 $\overset{⟶}{�}$ 和 $\overset{⟶}{�}$ ，其点积定义如下：
$\overset{⟶}{�} \cdot \overset{⟶}{�} = �_{1} �_{2} + �_{1} �_{2}$
其中 $�_{1}, �_{2}$ 分别是向量 $\overset{⟶}{�}$ 和 $\overset{⟶}{�}$ 的第一个元素， $�_{1}, �_{2}$ 分别是向量 $\overset{⟶}{�}$ 和 $\overset{⟶}{�}$ 的第二个元素。
向量点积具有以下性质：

非负性： $\overset{⟶}{�} \cdot \overset{⟶}{�} \geq 0$ ，当且仅当 $\overset{⟶}{�}$ 和 $\overset{⟶}{�}$ 方向相同或其中一个为零向量时，点积为正；当 $\overset{⟶}{�}$ 和 $\overset{⟶}{�}$ 方向相反时，点积小于零。
对称性： $\overset{⟶}{�} \cdot \overset{⟶}{�} = \overset{⟶}{�} \cdot \overset{⟶}{�}$ 。
数量性：如果 $�$ 是一个常数，则 $� (\overset{⟶}{�} \cdot \overset{⟶}{�}) = (� \overset{⟶}{�}) \cdot \overset{⟶}{�} = \overset{⟶}{�} \cdot (� \overset{⟶}{�})$ 。
结合律： $(\overset{⟶}{�} + \overset{⟶}{�}) \cdot \overset{⟶}{�} = \overset{⟶}{�} \cdot \overset{⟶}{�} + \overset{⟶}{�} \cdot \overset{⟶}{�}$ 。
向量 $\overset{⟶}{�}$ 和其自身的点积为 $\overset{⟶}{�} \cdot \overset{⟶}{�} = ∣ \overset{⟶}{�} ∣^{2}$ ，即向量的模长的平方。

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